Triángulo de Pascal y Su Relación Con El Binomio de Newton

Historia

Blaise Pascal

Triángulo de Pascal también conocido como Triángulo de Tartaglia es una representación de los coeficientes binomiales, esta clasificación se encuentra acomodada en forma a un triángulo.

La notación fue incluida en la obra de Blaise Pascal "Traité du triangle arithmétique" durante 1654, quiénes descubrieron esta aportación fueron antiguos chinos e indios, mas fue el matemático Pascal quién lo desarrollo y perfeccionó.

Triángulo de Pascal

La forma comienza con el número "1" en punta ,  debajo de el se encuentran una serie de números de tal manera que cada número es el resultado de la suma de sus 2 números superiores, a excepción de los extremos que siempre son 1.

Como se puede observar la suma de 1+3= 4, lo cual cumple con lo ya mencionado, "cada número es el resultado de la suma de sus 2 números superiores"

Propiedades del Triángulo                            

• Diagonales

1º Diagonal : Solo "1".                                           

2º Diagonal: Números Consecutivos

3º Diagonal: Números Triangulares

• Suma Horizontal

La suma de los números horizontales ( filas).

Como se puede observar el resultado de las sumas   

es el doble de la anterior.                                              

Binomio de Newton

La fórmula que nos permite hallar las potencias de un binomio se conoce como "Binomio de Newton". Con esta se deduce la fórmula que permite elevar a cualquier potencia de exponente natural," n" , un binomio. 

La forma empleada es: (a+b)ⁿ

Esta se puede ocupar para elevar a cualquier potencia, y se desarrolla de la siguiente manera. Ejemplo: 

Se puede observar que el número de término se puede obtener por: n+1.

Importante: en caso de que uno de los términos del binomio sea negativo (-), se deberán de alternar los signos positivos y negativos.

Relación con el Triángulo de Pascal

Los coeficientes de los binomios son números combinatorios los cuales se pueden obtener a partir del Triángulo de Pascal.

Si se observan los coeficientes de cada polinomio de los ejemplos anteriores, podemos observar una secuencia: 

Este es el Triángulo de Pascal
( filas de los números combinatorios)

Es decir cada que cada uno de esos números corresponden al valor de un número combinatorio :

Cada fila empieza y termina por el "1".
(Forman una fila simétrica)

Tip:

Una forma de evitar tener que calcular uno a uno todos los coeficientes ( ósea la fórmula) ,  es utilizar el Triángulo de Pascal, ya que los coeficientes de la potencia n aparecen en la fila n+1 de dicho triángulo

Resumen:

"La fórmula general del llamado Binomio de Newton (a + b)ⁿ está formada por unos coeficientes que coinciden con la línea número n+1 del triángulo de Pascal (la que empieza por 1 y n)."