Determinante de Gauss

Instituto Patria Nueva

“Determinante de Gauss.”


Matemáticas 3

Prof. Marco Antonio Morales Contreras

Valeria Michel’s Medales Larios

Bachillerato

3º Semestre. 3B

Villahermosa, Tabasco. Miércoles 30 de agosto de 2017.

DETERMINANTE DE GAUSS

Introducción

A lo largo de este primer parcial  la asignatura de  Matemáticas III se ha enfocado en el trabajo sobre el plano cartesiano, llevando a cabo actividades tales como formar figuras, conocer la distancia entre dos puntos y  sacar el área y el perímetro de estas, por lo cual desarrollamos ciertas fórmulas para facilitar el cálculo del área, entre ellas la Fórmula Determinante de Gauss.

Todo esto se encuentra dentro de la Geometría, una de las importantes ramas de las Matemáticas que nos permiten ubicar, orientarnos en un espacio, y a las estimaciones de formas y distancias.  Todas implicadas en acciones que realizamos día con día en la vida cotidiana.

En el presente trabajo se expondrá de manera explicativa y desarrollada como llevar a cabo el Método de Gauss, a partir de una figura en el plano cartesiano, así comprobando el área de esta, adjuntando el como obtener distancia a partir de dos puntos, mostrando paso a paso el procedimiento para llegar al resultado, siendo como objetivo dar una explicación extendida y clara para futuros lectores, así como un repaso al tema ya visto en clase.

Desarrollo

¿ Quién fue Gauss?

Karl Friedrich Gauss un matemático, físico y astrónomo, nacido  Brunswick, Alemania en 1777,  niño prodigio, llamado a si mismo como “ Príncipe de las Matemáticas”, debido a sus grandes obras y teorías en el ámbito del álgebra y derivadas, de entre ellas destacan el Teorema Fundamental del Álgebra, Disquisiciones y la que llevaremos a cabo la “Determinante de Gauss”, esta en honor a su nombre y a su gran aporte a las Matemáticas.

Determinante de Gauss

La Fórmula Determinante de Gauss o también conocida como Fórmula de la Lazada, es un algoritmo matemático usado para calcular el área de un polígono simple que se ha trazado sobre un plano (cartesiano) en donde sus vértices se ven representadas como coordenadas.

Para llevar a cabo la Fórmula debemos observar, cuantas vértices tiene nuestras figura y en que coordenadas están posicionadas A1: ( x1;y1) , A2 (x2;y2)…

Para continuar con la fórmula se elige una coordenada del polígono a libre arbitraje, y las demás serán  seleccionadas acorde al movimiento contrario a las manecillas del reloj, es decir, de izquierda a derecha.

Se usa un tabla donde se escriben las coordenadas, una debajo de otra siguiendo el orden de izquierda a derecha, finalizando con la coordenada que  elegimos como inicial.  Quedando una tabla parecida al ejemplo: 

El área de la región poligonal S correspondiente, es el valor absoluto de la expresión:

La forma de resolver la determinante, es multiplicando diagonalmente ( como se observa en la siguiente imagen) de derecha a izquierda y viceversa.  

Una vez ya formadas las pares, es decir los números que se multiplicaron, estos se sumaran entre si, únicamente los que pertenezcan al mismo color de flecha o en todo caso, que permanezcan a la misma letra D o I, quedando 2 sumas :

Ya realizadas las sumas de las multiplicaciones, nos habrá quedado 2 resultados, los cuales restaremos entre si, y el producto de este será dividido entre 2, quedándonos el área de la actual figura, demostrándose tal cual la fórmula.

El resultado se expresa en u²,  pues lo que obtuvimos es la medida del área de un polígono/ figura.

Distancia entre dos puntos

Para conocer la distancia que hay entre dos puntos, es decir , 2 coordenadas en el Plano Cartesiano, utilizamos la Fórmula de Distancia, la cual se basa en el Teorema de Pitágoras.

En el primer paréntesis escribimos únicamente la coordenada  “x” de ambas puntos, y en el segundo escribimos la coordenada “y”, para proceder a hacer los pasos de para realizar tal como en el Teorema de  Pitágoras.

Ejemplo: 

 Distancia entre los puntos/ coordenadas A (3,2) y B(-3,-2)

Perímetro
El perímetro se obtiene sumando todas las distancias que hay de un punto a otro (lados) dentro de un polígono , así obteniendo cuánto equivale el perímetro.

Conclusión

El desarrollo de este tema, no resulto complicado para el alumno, más si un tanto laborioso explicarlo debido a que la gran parte de la fórmula se entiende mejor con recursos visuales.  El método de Gauss, no resulta difícil de aprender pues uno de sus propósitos es acortar el procedimiento para obtener el área de un figura plasmada sobre un plano.

Durante el desenvolvimiento en este tema,  podemos notar la gran importancia de la Geometría dentro de las Matemáticas, pues en esta rama aprendemos de manera teórica el como orientarnos sobre un espacio, ubicar un lugar con exactitud o tan solo proponer la distancia de algo o alguien, lo cual llevamos a la vida cotidiana en eventos que jamás pensaríamos, como el trayecto desde la casa hasta la escuela o el calcular el espacio al momento de estacionar el automóvil.

Una vez más es clara la presencia de las Matemáticas en sus diversas ramas, cada día cotidiano empleamos de manera simple algún recurso matemático por muy sencillo que se note. Observamos que hay temas más allá de lo que conocemos y que el mundo de las Matemáticas nunca tiene fin para un estudiante.

Ejemplo en Geogebra

Aquí encontraras un ejercicio hecho en la aplicación de Geogebra, a continuación explicare la realización de esta paso a paso.

• Primero se tomo como base un logo o una figura, y con la opción de "Puntos" fuimos marcando cada vértice que se encontraba en la figura.

• Una vez marcadas todas las vértices, eliminamos la plantilla y quedaron únicamente los puntos, los cuales unimos con la opción " Polígono", así formando la imagen deseada.

• Geogebra brinda por default las distancias que hay entre punto y punto ( son las medidas que se encuentran con letra minúscula a un lado en el cuadro de vista). Sabiendo las medidas, lo que hicimos fue sumar todos los lados de la figura (distancias) para así obtener su perímetro.

• Como último calculamos el área, la cual obtuvimos con la herramienta "Área" que nos ofrece ya Geogebra.

Geogebra es una aplicación de amplio, educativo y simple uso para la formación de figuras, ubicación en un plano, todo tema relacionado a la geometría funciona de maravilla en esta aplicación.

Apoyo Visual / Multimedia 
Dejo un video como refuerzo del tema, en cualquier caso de duda. 

Referencias

• Diaz, Antonio. (2014). Determinante de Gauss. 30 de agosto del 2017, de ICT Sitio web: http://www.ict.edu.mx/acervo_ciencias_mate_poligonales.pdf
• Nazaret, María. (2015). Distancia entre dos puntos. 30 de agosto del 2017, de MWN Sitio web: https://marioneta3.jimdo.com/app/download/10164924983/geometria-analitica-4-maritza.pdf?t=1499359036.
• Ochoa, Patricio. (2014). Gauss. 30 de agosto del 2017, de UNAM Sitio web: http://dcb.fi-c.unam.mx/CoordinacionesAcademicas/FisicaQuimica/ElectricidadMagnetismo/biografias/3%20Karl%20Friederich%20Gauss.pdf

Cualquier duda o recomendación por favor dejarlos en comentarios, gracias!